Question

9．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D再回到A，设x表示P点的行程，f（x）表示PA的长，g（x）表示△ABP的面积．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求g（x）的表达式并作出g（x）的简图．

Answer 1

分析 （1）动点P各有不同位置，计算PA也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解．
（2）△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解．

解答 解：（1）如原题图，当P在AB上运动时，PA=x；
当P点在BC上运动时，由Rt△ABD?可得PA=$\sqrt{1+（x-1）^{2}}$
当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=$\sqrt{1+（3-x）^{2}}$
当P点在DA上运动时，PA=4-x，
故f（x）的表达式为：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤1）}\\{\sqrt{{x}^{2}-2x+2}，（1＜x≤2）}\\{\sqrt{{x}^{2}-6x+10}，（2＜x≤3）}\\{4-x，（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．
（2）g（x）的简图：
由于P点在折线ABCD上不同位置时，如原题图，
当P在线段AB上时，即0≤x＜1时，S△ABP的面积S=0；
当P在线段BC上时，即1＜x≤2时，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•BP=$\frac{1}{2}$（x-1）；
当P在线段CD上时，即2＜x≤3时，S_△ABP=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$
当P在线段DA上时，即3＜x≤4时，S_△ABP=$\frac{1}{2}$（4-x）
故g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，（0≤x≤1）}\\{\frac{1}{2}（x-1），（1＜x≤2）}\\{\frac{1}{2}，（2＜x≤3）}\\{\frac{1}{2}（4-x），（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分段函数的求法，背景是动点的轨迹不同，线段的长以及三角形的面积也会发生变化．属于中档题．