Question

14．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{4}$=1（a＞0）的右焦点F作直线l与双曲线交于A、B两点，若满足|AB|=8的直线有四条，则实数a的取值范围为1＜a＜4．

Answer 1

分析 根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．

解答 解：由题意，AB是通径时，|AB|=$\frac{8}{a}$=8，∴a=1
若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，此时有两条直线符合条件，∴a＞1；
若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=8，∴a=4，结合双曲线的对称性，此时有2条直线符合条件，a＜4；
综合可得，有4条直线符合条件时，1＜a＜4；
故答案为1＜a＜4．

点评 本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．