Question

4．设a+b=2，b＞0，当$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$取得最小值时，a的值为（　　）

• A． -3
• B． -2
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 由题意：a+b=2，b＞0，转化为：$\frac{a+b}{2}=1$，分a＞0和a＜0讨论，那么：$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$=$±\frac{1}{4}+\frac{b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$，利用基本不等式的性质求解．

解答 解：由题意：a+b=2，b＞0，转化为：$\frac{a+b}{2}=1$，
当a＞0时，那么：$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$=$\frac{1}{4}+\frac{b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$$≥\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{b}{4|a|}•\frac{|a|}{b}}=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$．
当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$时取等号．
当a＜0时，那么：$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$=$-\frac{1}{4}+\frac{b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$$≥-\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{b}{4|a|}•\frac{|a|}{b}}=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$．
当且仅当a=-2，b=4时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质和变形的运用能力．属于基础题．