Question

6．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线A、B两点，且|AB|=4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是（　　）

• A． （0，4）
• B． （0，4]
• C． （0，2]
• D． （0，2）

Answer 1

分析 证明抛物线的焦点弦中通径长最短，则要使满足|AB|=4的直线可以作2条，需通径2p＜4，可得p的取值范围．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的通径长为2p．
当过抛物线焦点的直线与抛物线不垂直时，设直线方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$．
根据据抛物线性质，得|AB|=|AF|+|BF|=p+（x₁+x₂）=$p+p+\frac{2p}{{k}^{2}}＞2p$．
∴抛物线的焦点弦中通径长最短．
则要使满足|AB|=4的直线可以作2条，则通径2p＜4，即p＜2．
∴p的取值范围是（0，2）．
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的简单性质，明确抛物线的焦点弦中通径长最短是关键，是中档题．