Question

已知函数f(x)=cosx+sin2

x

2

-

3

2

sinx．
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的最大值和最小值；
（2）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=0，b=

5

，c=

3

，求a的长度．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，由x的范围求出这个角的范围，进而得出余弦函数的值域，可求出函数的最大值及最小值；
（2）由f（B）=0，得到cos（B+

π

3

）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得出B的度数，进而求出cosB的值，再由b和c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：函数f(x)=cosx+sin2

x

2

-

3

2

sinx
=cosx+

1

2

（1-cosx）-

3

2

sinx
=

1

2

+

1

2

cosx-

3

2

sinx
=

1

2

+cos（x+

π

3

），
∵x∈[0，π]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
则函数f（x）的最大值为1，最小值为-

1

2

；
（2）∵f（B）=0，
∴

1

2

+cos（B+

π

3

）=0，即cos（B+

π

3

）=-

1

2

，
由B为三角形的内角，
得出B+

π

3

=

2π

3

，即B=

π

3

，又b=

5

，c=

3

，
根据余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即5=a²+3-

3

a，
解得：a=

3 + 11

2

或a=

3 - 11

2

（舍去），
则a的长度为

3 + 11

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的值域，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，第一问利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的余弦函数是解题的关键，第二问根据f（B）=0，利用特殊角的三角函数值求出B的度数是解题的关键．