Question

（12分）（原创）已知函数满足以下条件：①定义在正实数集上；②；③对任意实数，都有。

（1）求,的值；

（2）求证：对于任意，都有;

（3）若不等式,对恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【解析】

试题分析：先利用赋值法求出，（2）根据抽象函数表达式可以看出只是一个对数函数模型，借助可以求出函数原型：，但证明时需利用，所以取两个指数型的正数，去考察和即可；（3）首先利用赋值法证明函数在上是减函数，再考虑式子在上有意义，求出的要求，即定义域优先考虑，然后要求，最后借助函数是减函数，解不等式，即

，最终求出的范围，本题难度较大，需认真解每一步.

试题解析：（1）令，得：,,,

（2）证明：设，均为正数 ,则存在使得，

（3）先证在正实数集上单调递减：

设，且,令：，（），，， 则由（2）知

-==，则函数在上是减函数.

再求取值范围：

因为且，又，在区间上有定义

定义在正实数集上 可得：

，对恒成立，……（1）

,对恒成立，恒成立……（2）

由（2）中令 ,得：，则原不等式可整理为：

直线在左侧，令

在上为减函数，需要最大值为，即，

（3）,有上面（1）（2）（3）得：的取值范围是

考点：1.赋值法；2.抽象函数的单调性的证明；3.利用抽象函数的增减性解不等式；