Question

请仔细阅读以下材料：

已知是定义在上的单调递增函数．

求证：命题“设，若，则”是真命题．

证明：因为，由得．

又因为是定义在上的单调递增函数，

于是有． ①

同理有． ②

由① + ②得．

故，命题“设，若，则”是真命题．

请针对以上阅读材料中的，解答以下问题：

（1）试用命题的等价性证明：“设，若，则：”是真命题；

（2）解关于的不等式（其中）．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）①当时，即时，不等式的解集为：

②当时，即时，不等式的解集为：

【解析】

试题分析：（1）在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件和结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题；（2）当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变；（3）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例；（4）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.

试题解析： 【解析】
（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.

原命题的逆否命题：设，若，则： 4分

下面证明原命题的逆否命题为真命题：

因为，由得：， 1分

又是定义在上的单调递增函数

所以 （1） 1分

同理有： （2） 1分

由（1）+（2）得： 1分

所以原命题的逆否命题为真命题

所以原命题为真命题. 1分

（2）由（1）的结论有：，即： 3分

①当时，即时，不等式的解集为： 3分

②当时，即时，不等式的解集为： 3分

考点：1、命题及其相互关系；2、指数函数和对数函数的性质.