Question

16．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a²+b²=c²，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，S为顶点O所对面的面积，S₁，S₂，S₃分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则S，S₁，S₂，S₃满足的关系式为${S}^{2}={S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内的勾股定理，我们可以推断四面体的相关性质．

解答 解：由a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a²+b²=c²，
类比到空间中：
在四面体O-ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，
S为顶点O所对面的面积，
S₁，S₂，S₃分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，
则S，S₁，S₂，S₃满足的关系式为：${S}^{2}={S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$．
故答案为：${S}^{2}={S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$

点评 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．