Question

7．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：$ρ=\frac{6}{{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}}$，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1即可得出；
（II）把直线l的极坐标化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由点P的坐标可得：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2sinα+2.\end{array}\right.$且参数α∈[0，2π]，
∴点P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）∵$ρ=\frac{6}{{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}}$，∴$ρ\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）=6$，
∴ρsinθ-ρcosθ=6，
∴直线l的直角坐标方程为x-y+6=0．
$\begin{array}{l}d=\frac{{|{2cosα-2sinα-2+6}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{2sinα-2cosα-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）-4}|}}{{\sqrt{2}}}\\≤2+2\sqrt{2}\end{array}$
即点P到直线l距离的最大值$2\sqrt{2}+2$．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．