Question

15．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的点．当△APQ的周长为2时，则∠PCQ的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 把Rt△CBP绕C顺时针旋转90°，得到Rt△CDE．则E在AD的延长线上，并且CE=CP，DE=PB，∠ECP=90°，再由△APQ的周长为2，
得到QP=2-AQ-AP，易得QE=DE+DQ=2-AQ-AP，于是△CQE≌△CQP，得到∠PCQ=∠QCE，得到∠PCQ=45°．

解答 解：把Rt△CBP绕C顺时针旋转90°，得到Rt△CDE，如图，
则E在AD的延长线上，并且CE=CP，DE=PB，∠ECP=90°，
∵△APQ的周长为2，
∴QP=2-AQ-AP，
而正方形ABCD的边长为1，
∴DE=PB=1-AP，
DQ=1-AQ，
∴QE=DE+DQ=2-AQ-AP，
∴QE=QP，
而CQ公共，
∴△CQE≌△CQP，
∴∠PCQ=∠QCE，
∴∠PCQ=45°．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质