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(本小题満分12分)
已知一条曲线上的每个点M到A(1,0)的距离减去它到y轴的距离差都是1.
(1)求曲线的方程;
(2)讨论直线y=kx+1(k∈R)与曲线的公共点个数
解:(1)设点M(x,y)是曲线上任意一点,则-|x|=1,
化简得:y2=2x+2|x|
所求曲线的方程.C1:当x³0时, y2=4x;C2:当x<0时,y=0.
(2)直线y=kx+1过定点(0,1),
y=kx+1,与y2=4x联列:ky2-4y+4="0," D=16-16k
当k=0时,直线与C1有一个公共点,而与C2没有公共点,共1个公共点;
当k=1时, D=0,直线与C1和C2各一个公共点,共2个公共点;
当0<k<1时,D>0,直线与C1有2个公共点,和C2一个交点,共3个公共点;
当k<0时,D>0,直线与C1有两个公共点,和C2没有公共点,共2个公共点;
当k>1时, D<0,直线与C1没有公共点,和C2有1个公共点,共1个公共点;
所以:当k=0,或k>1时,直线与曲线有1个公共点;
当k=1,或k<0时,直线与曲线有2个公共点;
当0<k<1时,直线与曲线有3个公共点.
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