Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x1 ， x2∈[1，e]，都有 ，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．

．

当x∈ 时，f′（x）0，

所以函数f（x）在 上为减函数，在 上为增函数，

由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，

所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e

（2）解：由f（x）=alnx+x2，得 ．

若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，

由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；

若a＜0，由f′（x）=0，得x= （舍），或x= ．

若 ，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，

由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；

若 ，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，

由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，

所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；

若 ，即﹣2e2＜a＜﹣2，

f（x）在 上为减函数，在 上为增函数，

由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．

= ．

当 ，即﹣2e＜a＜﹣2时， ，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．

当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．

当﹣e2≤a＜﹣2e时， ，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．

当﹣2e2＜a＜﹣e2时， ，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1

（3）解：若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，

不妨设x1＜x2，则 变为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，由此说明函数G（x）=f（x）+ 在[1，e]单调递减，所以G′（x）= ≤0对x∈[1，e]恒成立，即a 对x∈[1，e]恒成立，

而 在[1，e]单调递减，所以a ．

所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有 成立的实数a的取值范围不存在

【解析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把 转化为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，构造辅助函数G（x）=f（x）+ ，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值，以及对不等式的证明的理解，了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．