Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+（λ+1）n+λ，（λ为常数）
（1）判断{a_n}是否为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{S_n}是递增数列，求λ的取值范围；
（3）若S₁₂＜0，S₁₃＞0，求S₁，S₂，…S₁₂中的最小值．

Answer 1

分析：（1）易求n=1时a₁=2λ+2，n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n+λ，通过对λ=0与λ≠0的讨论，即可判断{a_n}是否为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）依题意，知2n+λ＞0对任意n≥2恒成立，从而可求λ的取值范围；
（3）由S₁₂＜0，S₁₃＞0可求得-13＜λ＜-12，利用二次函数S_n=n²+（λ+1）n+λ的对称轴n=-

λ+1

2

∈（

11

2

，6）即可求得S₁，S₂，…S₁₂中的最小值．

解答：解：（1）n=1时a₁=S₁=2λ+2（1分）
n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n+λ（2分）
1）当λ=0时a_n=2n，故{a_n}是等差数列；（3分）
2）当λ≠0时a₁=2λ+2，n≥2时a_n=2n+λ，故{a_n}不是等差数列；（5分）
综合：{a_n}的通项公式为a_n=

2λ+2(n=1) 2n+λ(n≥2)

；（6分）
（2）n≥2时S_n-S_n-1=2n+λ，
由题意知2n+λ＞0对任意n≥2恒成立，（9分）
即λ＞-2n对任意n≥2恒成立，故λ＞-4（11分）
（3）由S₁₂＜0，S₁₃＞0得

13λ+156＜0 14λ+182＞0

，即-13＜λ＜-12（13分）
∵S_n=n²+（λ+1）n+λ的对称轴为n=-

λ+1

2

，-13＜λ＜-12，
∴

11

2

＜-

λ+1

2

＜6，（14分）
故当n=6时S_n最小，即S₁，S₂，S₁₂中S₆最小．（16分）

点评：本题考查等差关系的确定，考查数列的函数特性，突出分类讨论思想、方程思想与化归思想的综合应用，属于难题．