Question

如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN过△ABC的重心G，设∠MGA=α，α∈[

π

3

，

2π

3

]．
（1）当α=105°时，求MG的长；
（2）分别记△AGM，△AGN的面积为S₁，S₂，试将S₁，S₂表示为α的函数；
（3）求y=

1

S12

+

1

S22

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据重心的性质求得AG，利用正弦定理求得MG．
（2）利用正弦定理表示出MG，NG，进而根据三角形面积公式求得S₁，S₂关于α的函数；
（3）利用（2）中结论，用α表示出y的函数解析式，利用α的范围求得其最大和最小值．

解答： 解：（1）∵，△ABC是边长为1的正三角形，G为重心，

∴AG=

2

3

AD=

3

3

在△AMG中∠MGA=105°，∠MAG=30°，
∴∠AMG=45°
由正弦定理得

MG

sin30°

=

AG

sin45°

∴MG=

AG

sin45°

•sin30°=

6

6

，
（2）∵在△AMG中，∠MAG=30°，
∴∠AMG=150°-α，
由正弦定理得   MG=

AG

sin(1500-α)

sin300=

3

6sin(1500-α)

在△ANG中，同理可得NG=

AG

sin(α-300)

sin300=

3

6sin(α-300)

∴S1=

1

2

AG•MG•sinα=

sinα

12sin(1500-α)

α∈[

π

3

，

2π

3

]
∴S1=

1

2

AG•NG•sinα=

sinα

12sin(α-300)

α∈[

π

3

，

2π

3

]
（3）y=

1

S12

+

1

S22

=

144sin2(1500-α)

sin2α

+

144sin2(α-300)

sin2α

=

72[1-cos(3000-2α)]

sin2α

+

72[1-cos(2α-600)]

sin2α

=

72(2-cos2α)

sin2α

=

144-72(1-2sin2α)

sin2α

=

72

sin2α

+144
∵α∈[

π

3

，

2π

3

]
∴当α=

π

2

，ymin=216
当α=

π

3

或

2π

3

，ymax=240

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数图象和性质等知识点．