Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO
（Ⅰ）求证直线A、B恒过定点（0，1）
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出AB的方程，A，B的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而利用抛物线方程求得y₁y₂=的表达式，进而根据AO⊥BO推断出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，即可求出结果；
（Ⅱ）S_△AOB=

1

2

•1•|x₁-x₂|=

1

2

k2+4

，即可求出最小值．

解答： （Ⅰ）证明：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入y=x²得：x²-kx-b=0，则有：
△=k²+4b＞0①，x₁+x₂=k②，x₁x₂=-b③，
又y₁=x₁²，y₂=x₂²
∴y₁y₂=b²；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：-b+b²=0且b≠0，
∴b=1，
∴直线AB恒过定点（0，1）；
（II）解：S_△AOB=

1

2

•1•|x₁-x₂|=

1

2

k2+4

≥1
当且仅当k=0时，等号成立，
∴△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，涉及到直线与圆锥线的问题一般是联立方程，设而不求，属于中档题．