Question

若P是抛物线x²=4y上的一个动点，则点P到直线l₁：y=-1，l₂：3x+4y+12=0的距离之和的最小值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、

  16

  5

• D、

  19

  5

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l₁和直线l₂的距离d₁和d₂，求出d₁+d₂，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．

解答： 解：设抛物线上的一点P的坐标为（2a，a²），则P到直线l₁：y=-1的距离d₁=a²+1；
P到直线l₂：3x+4y+12=0的距离d₂=

6a+4a2+12

5

，
则d₁+d₂=

6a+4a2+12

5

+a²+1=

9a2+6a+17

5

，
当a=-

1

3

时，P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为

16

5

．
故选：C．

点评：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．