Question

已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连结PF，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP与N，且

PM

•

PF

=0，|

PN

|=|

PM

|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）若A（a，0），a∈R，求使|

AN

|最小的点N的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，利用PM⊥PF，k_PMk_PF=-1，求得x和y的关系式，即N的轨迹方程；
（2）设x=t²，则|

AN

|=

(x-a)2+y2

，利用配方法即可求解．

解答： 解：（1）设动点N（x，y），则M（-x，0），P（0，

y

2

）（x＞0），
∵

PM

•

PF

=0，∴PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即

y 2

x

•

y 2

-1

=-1，
∴y²=4x（x＞0）即为所求；
（2）设x=t²，则|

AN

|=

(x-a)2+y2

=

(t2-a)2+4t2

=

5(t2- a 5 )2+ 4 5 a2

，
∴t²=

a

5

时，|

AN

|最小．
此时得：N（

a

5

，±

2 a

5

）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题．