Question

已知函数f（x）=x³-3x+2．
（1）求出函数f（x）的单调递减区间；
（2）若x∈（-2，1]，求出f（x）的最大值和最小值；
（3）根据实数k的不同值，讨论方程f（x）-k=0实根的个数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3x+2，知f'（x）=3x²-3，由此能求出f（x）=x³-3x+2的单调递减区间．　
（2）由f'（x）=3x²-3=0，得x₁=1，x₂=-1，列表讨论能求出f（x）的最大值和最小值．　　　　　　
（3）画出y₁=x³-3x+2与y₂=k的图象，根据实数k的不同值，能够得到方程f（x）-k=0实根的个数．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-3x+2，
∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）≤0得，-1≤x≤1，
∴f（x）=x³-3x+2的单调递减区间为[-1，1]；　
（2）由f'（x）=3x²-3=0，得x₁=1，x₂=-1，
列表如下：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1
f'（x）	+		-
f（x）	单增	4	单减	0

又f（-2）=f（1）=0，
则x=-1时最大值为4，x=1时最小值为0；　　　　　　
（3）画出y₁=x³-3x+2与y₂=k的图象，
①k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0有1个实根；
②k∈{0，4}时，f（x）-k=0有2个实根；
③k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个实根．

点评：本题考查函数的单调性、最值、实根的个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质、分类讨论思想的合理运用．