Question

记函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

在（0，+∞）的值域为M，g（x）=（x+1）²+a在（-∞，+∞）的值域为N，若N⊆M，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a≥

  1

  2

• B、a≤

  1

  2

• C、a≥

  1

  3

• D、a≤

  1

  3

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的值域

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：运用导数求解函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

在（0，+∞）的值域为M，根据二次函数的性质求解g（x）=（x+1）²+a在（-∞，+∞）的值域为N，
最后利用集合的关系判断答案．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

，
∴f′（x）=x²-x，x∈（0，+∞）
因为f′（x）=x²-x=0，x=0，x=1
f′（x）=x²-x＞0，x＞1，
f′（x）=x²-x＜0，0＜x＜1
故f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以f（x）在x=1时，f（x）_极小值=f（1）=

1

3

-

1

2

+

1

2

=

1

3

，
∵函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

在（0，+∞）的值域为M，
∴值域为M：[

1

3

，+∞），
∵g（x）=（x+1）²+a在（-∞，+∞）的值域为N，
∴N=[a，+∞）
又N⊆M，所以a≥

1

3

，
故选；C

点评：本题考查了函数的性质，导数在求解最值中的应用，结合集合的关系判断求解，属于中档题．