对于函数=x3+ax2-x+1.给出下列命题: ①该函数必有2个极值, ②该函数的极大值必大于1, ③该函数的极小值必小于1, ④方程=0一定有三个不等的实数根．其中正确的命题是．(写出所有正确命题的序号) 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对于函数=x³+ax²-x+1，给出下列命题：

①该函数必有2个极值； ②该函数的极大值必大于1；

③该函数的极小值必小于1； ④方程=0一定有三个不等的实数根．

其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）

【答案】

①、②、③

【解析】略

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45o，是否存在实数m使得对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′(x)+

]在区间（t，3）上总不是单调函数？若存在，求m的取值范围；否则，说明理由；
（Ⅲ）求证：

ln2

ln3

ln4

ln5

×…×

lnn

＜

（n≥2，n∈N^*）．

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科目：高中数学 来源： 题型：

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D₁上封闭，并说明理由；
（2）若定义域D₂=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造数列的过程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{x_n}，求实数a的取值范围．
②如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数a的取值范围．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x₁、x₂都有f(

x1+x2

)≥

[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+

在

1，2

上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间

c，d

上的“凸函数”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①证明：当n=2^k（k∈N^*）时，f(

x1+x2+…+xn

)≥

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，
证明：f(

x1+x2+…+xn

)≥

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2013•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x₀∈D，均有f（x₀）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
（1）若函数g（x）=

3x+a

x+1

在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
（1）若函数h（x）=x³-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•马鞍山二模）设函数f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（I）如果存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

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