Question

甲、乙两个钢铁厂2010年的年产量均为100万吨，两厂通过革新炼钢技术、改善生产条件等措施，预计从2011年起，在今后10年内，甲厂的年产量每年都比上一年增加10万吨；以2010年为第一年，乙厂第n（n∈N^*，n≥2）年的年产量每年都比上一年增加2^n-1万吨．
（Ⅰ）“十二•五”期间（即2011年至2015年），甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共多少万吨？
（Ⅱ）若某钢厂的年产量首次超过另一钢厂年产量的2倍，则该钢厂于当年底将另一钢厂兼并，问：在今后10年内，其中一个钢厂能否被另一个钢厂兼并？若能，请推算出哪个钢厂在哪一年底被兼并；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意知，甲工厂第n年的年产量是构成等差数列，其首项为100，公差是10，而乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1，数列{a_n}，{b_n}的通项公式易得，可求“十二•五”期间（即2011年至2015年），甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量；
（Ⅱ）比较两个通项公式，根据情况求出年份即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题得，甲工厂第n年的年产量是一个等差数列的项，其首项为100，公差是10，∴a_n=10n+90，
乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+98，
∴“十二•五”期间（即2011年至2015年），甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共5×100+

5×4

2

×10+

2(1-25)

1-2

+490=1002万吨
（Ⅱ）各年的产量如下表

n	1	2	3	4	5	6	7	8
an	100	110	120	130	140	150	160	170
bn	100	102	106	114	130	162	226	354

∴2018年底甲工厂将被乙工厂兼并．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查用数列解决实际问题．由于比较两个工厂的产量时两个函数的形式较特殊，不易求解，故采取了列举法，数据列举时作表格比较简捷．