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    如果数列{an}同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k，对任意n∈N*，an+12=anan+2+k都成立，那么，这样的数列{an}我们称之为“类等比数列”．由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列”．问：
    （1）若数列{an}为“类等比数列”，且k=（a2-a1）2，求证：a1、a2、a3成等差数列；
    （2）若数列{an}为“类等比数列”，且k=0，a2、a4、a5成等差数列，求
    a2
    a1
    的值；
    （3）若数列{an}为“类等比数列”，且a1=a，a2=b（a、b为常数），是否存在常数λ，使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
    考点：类比推理
    专题：新定义,推理和证明
    分析：（1）由新定义可得，
    a
    2
    n+1
    =anan+2+（a2-a1）2，令n=1，注意到a1＞0，化简运用等差数列的定义即可证明；
    （2）运用等差数列和等比数列的通项公式和性质，即可求出公比；
    （3）可从必要条件入手推出：存在常数λ=
    a2+b2-k
    ab
    ，使an+an+2=λan+1，再加以证明，注意根据新定义，推出，当n∈N*都有an+an+2=
    a1+a3
    a2
    an+1    ，由a1，a2，得到a3，从而得到λ=
    a2+b2-k
    ab
    ，结论成立．
    解答： （1）证明：当k=(a2-a1)2时，在
    a
    2
    n+1
    =anan+2+k    中，令n=1得
    a
    2
    2
    =a1a3+(a2-a1)2    ，
    即a1a3-2a1a2+
    a
    2
    1
    =0    ．
    ∵a1＞0，∴a3-2a2+a1=0，即a2-a1=a3-a2•
    故a1，a2，a3成等差数列；         
    （2）解：当k=0时，
    a
    2
    n+1
    =anan+2    ，
    ∵数列{an}的各项均为正数∴数列{an}是等比数列，
     设公比为q（q＞0），
    ∵a2，a4，a5成等差数列，∴a2+a5=2a4，
    即a1q+a1q4=2a1q3．∵a1＞0，q＞0，
    ∴q3-2q2+1=0，（q-1）（q2-q-1）=0，
    解得q=1或q=
    1±
    		5
    2
    （舍去负值）．
    ∴
    a2
    a1
    =q=1    或
    a2
    a1
    =q=
    1+
    		5
    2
    ；
    （3）存在常数λ=
    a2+b2-k
    ab
    ，使an+an+2=λan+1．
    （或从必要条件入手a1+a3=λa2⇒λ=
    a1+a3
    a2
    =
    a1+
    a22-k
    a1
    a2
    =
    a2+b2-k
    ab
    ）
    证明如下：∵
    a
    2
    n+1
    =anan+2+k    ，∴
    a
    2
    n
    =an-1an+1+k，n≥2，n∈N*    ，
    ∴
    a
    2
    n+1
    -
    a
    2
    n
    =anan+2-an-1an+1    ，即
    a
    2
    n+1
    +an-1an+1=anan+2+
    a
    2
    n
    ，
    由于an＞0，此等式两边同除以anan+1，得
    an+an+2
    an+1
    =
    an-1+an+1
    an
    ，
    ∴
    an+an+2
    an+1
    =
    an-1+an+1
    an
    =…=
    a1+a3
    a2
    ，
    即当n∈N*都有an+an+2=
    a1+a3
    a2
    an+1    ，
    ∴a1=a，a2=b，
    a
    2
    n+1
    =anan+2+k    ，∴a3=
    b2-k
    a

    ∴
    a1+a3
    a2
    =
    a+
    b2-k
    a
    b
    =
    a2+b2-k
    ab
    •
    ∴对任意n∈N*都有an+an+2=λan+1，
    此时λ=
    a2+b2-k
    ab
    ．
    点评：本题考查新定义及理解和运用，同时考查等差数列和等比数列的定义、通项和性质，正确理解定义是解决此类问题的关键．
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    m
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    x
    2
    ，-1），
    n
    =（
    		3
    sin
    x
    2
    ，cos2
    x
    2
    ），设函数f（x）=
    m
    •
    n
    +
    1
    2
    ．
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    π
    2
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    		3
    3
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    		3
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    		x
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