Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=4，AE=2，求CD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：选作题,立体几何

分析：（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，证明OA∥CE，利用AE⊥CE，可得AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割线定理，可得结论．

解答： （1）证明：连结OA，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，
又∠ODA=∠ADE，所以∠ADE=∠OAD，所以OA∥CE．
因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．
所以AE是⊙O的切线．…（5分）
（2）解：由（1）可得△ADE∽△BDA，
所以

AE

AD

=

AB

BD

，即

2

AD

=

4

BD

，则BD=2AD，
所以∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，
所以DE=AEtan30°=

2 3

3

．
由切割线定理，得AE²=ED•EC，
所以4=

2 3

3

（

2 3

3

+CD），所以CD=

4 3

3

．…（10分）

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．