Question

已知函数f(x)=

2

x

-log2

1+mx

1-x

是奇函数．
（1）求m的值；
（2）请讨论它的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）由函数奇偶性的定义可知，f（-x）+f（x）=0，将f（x）的解析式代入求解m即可．
（2）先求出f（x）的定义域，因为函数是奇函数，故只要先判断f（x）在（0，1）内的单调性即可，可由单调性的定义直接判断．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）+f（x）=0；
即(-

2

x

-log2

1-mx

1+x

)+(

2

x

-log2

1+mx

1-x

)=0，解得：m=1，其中m=-1（舍）；
经验证当m=1时，f(x)=

2

x

-log2

1+x

1-x

(x∈(-1，0)∪(0，1))确是奇函数．
（2）先研究f（x）在（0，1）内的单调性，任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

+[lo g2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]，
由

2

x1

-

2

x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减；
由于f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f（x）在（-1，0）内单调递减．

点评：本题考查函数单调性的判断和证明及已知奇偶性求参数和奇偶性的应用问题，属基本题型的考查．