Question

9．已知函数f（x）=|x+a|-|x+3|，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）依题意知，|x-a|≤x+7，由此得a≥-7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1．
当x≤-3时，不等式化为-（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；
当-3＜x＜-1时，不等式化为-（x+1）-（x+3）≤1，解得-2.5≤x＜-1；
当x≥-1时，不等式化为（x+1）-（x+3）≤1，不等式必成立．
综上，不等式的解集为[-2.5，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x-a|≤x+7，
由此得a≥-7且a≤2x+7．
当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，
所以a的取值范围是[-7，7]．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．