Question

18．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x在定义域内为单调函数，则实数a的取值范围是$[\frac{1}{e}，+∞）$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，问题转化为f′（x）=lnx-ax＜0在（0，+∞）恒成立，求出f′（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x的定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax，
若函数f（x）在定义域上单调，
则f′（x）=lnx-ax≤0在（0，+∞）恒成立，
或f′（x）=lnx-ax≥0在（0，+∞）恒成立，
①f′（x）=lnx-ax≤0时，显然a＞0，
f″（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
令f″（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
令f″（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f′（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
∴f′（x）_max=f′（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1≤0，
解得：a≥$\frac{1}{e}$，
②f′（x）=lnx-ax≥0时，即lnx≥ax在（0，+∞）恒成立，
显然不合题意；
故答案为：$[\frac{1}{e}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．