Question

7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，E是DP中点．
（1）证明：PB∥平面ACE；
（2）若AP=PB=$\sqrt{2}$，AB=PC=2，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，BD∩AC=F，连接EF，推导出EF∥PB，由此能证明PB∥平面ACE．
（2）取AB的中点Q，连结PQ、CQ，以Q点为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，QP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答 解：（1）连结BD，BD∩AC=F，连接EF，
∵四棱锥的底面为菱形，∴F为BD中点，
又∵E是DP中点，∴在BDP中，EF是中位线，∴EF∥PB，
又∵EF⊆平面ACE，而PB?平面ACE，∴PB∥平面ACE．…（6分）
（2）取AB的中点Q，连结PQ、CQ，
∵菱形ABCD，且∠ABC=60°，∴正△ABC，∴CQ⊥AB，
∵$AP=PB=\sqrt{2}$，AB=PC=2，∴$CQ=\sqrt{3}$，且等腰直角△PAB，即∠APB=90°，PQ⊥AB．
∴AB⊥平面PQC，且PQ=1，∴PQ²+CQ²=CP²，∴PQ⊥CQ．
如图，以Q点为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，
QP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则$Q（{0，0，0}），A（{1，0，0}），C（{0，\sqrt{3}，0}），P（{0，0，1}），D（{2，0，0，}）$…（9分）
平面APC上，$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CP}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），则有$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}+{z_1}=0}\\{-\sqrt{3}{y_1}+{z_1}=0}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=\sqrt{3}}\\{{y_1}=1}\\{{z_1}=\sqrt{3}}\end{array}}\right.}\right.$，即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），…（11分）
设平面DPC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
∵$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
则有$\left\{{\begin{array}{l}{2{x_2}=0}\\{-\sqrt{3}{y_2}+{z_2}=0}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），…（13分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{7}•2}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-PC-D的余弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（15分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．