Question

19．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a，AB=2a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）PC与平面ABCD所成角的大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点E，连结AE、EN，证明四边形AMNE是平行四边形，可得MN∥AE，利用线面平行的判定，即可得出结论．
（2）由线面垂直得PA⊥CD，由矩形性质得AD⊥CD，由此能证明CD⊥MN．
（3）连接AC，PA⊥矩形ABCD所在的平面，所以∠PCA为PC与平面ABCD所成角．

解答 （1）证明：取PD 的中点E，连接AE、EN，
则有EN=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}AB$=AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四边形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AE，即AB⊥MN，
又CD∥AB，
∴MN⊥CD．
（3）解：连接AC，PA⊥矩形ABCD所在的平面，
所以∠PCA为PC与平面ABCD所成角，
AB=2a，BC=a，∴AC=$\sqrt{5}$a，PA=a，
∴tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查线面角，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定和性质是解答本题的关键．