Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}有b₁=1，b_nb_n+1=2ⁿ
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_2n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）利用bnbn+1=2n，当n≥2时，bn-1bn=2n-1．可得

bn+1

bn-1

=2，得到数列{b_2n} 是等比数列，即可得出b_2n，再利用“错位相减法”即可得出T_n．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
又n=1时也符合上式．
∴a_n=2n．
（2）∵bnbn+1=2n，∴当n≥2时，bn-1bn=2n-1．
∴

bnbn+1

bn-1bn

=

bn+1

bn-1

=

2n

2n-1

=2，
又∵b₁=1，b₁b₂=2，∴b₂=2．
∴数列{b_2n} 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴b2n=2n．
∴c_n=a_nb_2n=n•2ⁿ⁺¹．
∴Tn=1×22+2×23+…+n•2ⁿ⁺¹     ①
2Tn=1×23+2×24+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²   ②
①-②得：-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

4(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求通项公式a_n、等比数列的定义及其通项公式与前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．