Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间和最小值；

（2）若函数在上的最小值为，求的值；

（3）若,且对任意恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3

【解析】试题分析：（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间；
（2），对结合在上的最小值为，分类讨论，建立等式，从而可得结论．

（3）问题转化为对任意恒成立，设，根据函数的单调性求出的值即可．

试题解析：（1）的单调增区间为，单调减区间为，

（2）， ，

Ⅰ．当时， ， 在上单调递增， ，所以，舍去.

Ⅱ．当时， 在上单调递减，在上单调递增，

①若， 在上单调递增， ，所以，舍去，

②若， 在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.

③若， 在上单调递减， ，所以，舍去，

综上所述， .

（3）由题意得： 对任意恒成立，即对任意恒成立.

令，则，令，则，

所以函数在上单调递增，

因为方程在上存在唯一的实根，且，当时， ，即，

当时， ，即.

所以函数在上递减，在上单调递增.

所以

所以，又因为，故整数的最大值为3.