Question

【题目】已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意可得为线段中点， 为线段的中垂线，则， 的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，据此可求得点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）直线与圆相切，则，联立直线方程与椭圆方程可得.满足题意时，则，设， ，由韦达定理结合弦长公式可得，则△ABO的面积，换元令，结合二次函数的性质可知，结合反比例函数的性质可得面积的取值范围为.

试题解析：

（Ⅰ），∴为线段中点

∵， ∴为线段的中垂线

∴

∵

∴由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，

设椭圆的标准方程为，

则， ，

∴，

∴点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）∵圆与直线相切，

∴，即，

由，消去.

∵直线与椭圆交于两个不同点，

∴，

将代入上式，可得，

设， ，

则， ，

∴ ，

∴

∴ ，

∵，解得.满足.

又，

设，则.

∴ ，

∴

故面积的取值范围为.