Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ． 若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am ， 则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0．若{an}是“H数列”，求d的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，

所以 ，

所以对任意的n∈N*， 是数列{an}中的第n+1项，

因此数列{an}是“H数列”

（2）解：依题意，an=1+（n﹣1）d， ，

若{an}是“H数列”，则对任意的n∈N*，都存在k∈N*使得ak=Sn，

即1+（k﹣1）d= ，

所以 ，

又因为k∈N*， ，

所以对任意的n∈N*， ，且d＜0，

所以d=﹣1．

【解析】（1）由已知得 ，由此能证明数列{an}是“H数列”．（2）依题意，an=1+（n﹣1）d， ，若{an}是“H数列”，则1+（k﹣1）d= ，由此能求出d的值．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．