Question

如图所示，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC、BD，交于O，连结OE，由已知得OE∥AP，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：连结AC、BD，交于O，连结OE，
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵E是PC的中点，∴OE∥AP，
∵AP不包含于平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵四边形ABCD是正方形，PD=DC，设PD=DC=2，
∴B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），

DE

=（0，1，1），

DB

=（2，2，0），
则

n • DE =y+z=0 n • DB =2x+2y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，1），
又平面DEC的法向量

m

=（1，0，0），
设二面角B-DE-C的平面角为θ，
则cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

．
∴二面角B-DE-C的平面角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．