Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．

（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；
（2）点F在BE上，若DE∥平面ACF，DC=CE= BC=3，求三棱锥A﹣BCF的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC．

∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB平面ABCD，

∴AB⊥平面BCE．

∵CE平面BCE，∴CE⊥AB．

∵CE⊥BE，AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE=B，

∴CE⊥平面ABE．

∵CE平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE．

（2）解：连接BD交AC于点O，连接OF．

∵DE∥平面ACF，DE平面BDE，平面ACF∩平面BDE=OF，

∴DE∥OF．

又∵矩形ABCD中，O为BD中点，

∴F为BE中点，即BF=FE．

在Rt△BEC中，∵BC=6，EC=3，∴BE= ．

∴ ．

又AB=DC=3．

∴ ．

【解析】1、根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面BCE，即得CE⊥AB，再根据线面垂直的判定定理可得到CE⊥平面ABE，故得到平面AEC⊥平面ABE．
2、由线面平行的性质定理可得DE∥OF，再利用已知可得BF=FE，利用等体积法可求出 V A-BCF.