Question

11．已知y=f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）²，a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 6或$\frac{15}{2}$
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 先根据f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称得出f（x）=g（2-x），根据g（x）的解析式，求出f（x）在[-1，0]上的解析式；再根据f（x）为偶函数得出f（x）在[0，1]上的解析式．利用函数的最大值求解a即可．

解答 解：∵f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=g（2-x）．
∴当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax-3x²．
又∵f（x）为偶函数，
∴x∈[[0，1]时，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=f（-x）=ax-2x²．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2ax-3{x}^{2}，x∈[-1，0]}\\{2ax-3{x}^{2}，x∈[0，1]}\end{array}\right.$．
f（x）的最大值为12，x∈[0，1]时，当a≤0，不满足题意，当a＞0时，最大值为：f（1）=2a-3=12，
解得a=$\frac{15}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．要利用好函数的对称性和根据导函数的性质来判断函数的单调性．