Question

已知函数f(x)＝a^x＋x²－xln a，a>1.

(1)求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；

(2)若函数y＝－3有四个零点，求b的取值范围；

(3)若对于任意的x∈[－1，1]，都有|f(x)|≤e²－1恒成立，求a的取值范围．

 

Answer 1

解：(1)证明：∵f(x)＝a^x＋x²－xln a，

∴f′(x)＝a^x·ln a＋2x－ln a＝(a^x－1)ln a＋2x.

∵a>1，x>0，∴a^x－1>0，ln a>0，2x>0，

∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，

即函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，

∴f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．

∴f(x)取得最小值f(0)＝1.

解得b>2＋或2－<b<0.

故b的取值范围是(2－，0)∪(2＋，＋∞)．

(3)由(1)知f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，

f(－1)＝＋1＋ln a，f(1)＝a＋1－ln a，

∴f(1)－f(－1)＝a－－2ln a.

令H(x)＝x－－2ln x(x>0)，则

∴H(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．

∵a>1，∴H(a)>H(1)＝0，∴f(1)>f(－1)．

∴当x∈[－1，1]时，|f(x)|的最大值为f(1)＝a＋1－ln a，

∴要使|f(x)|≤e²－1恒成立，

只需a＋1－ln a≤e²－1即可．

令h(a)＝a－ln a＋1(a>1)，h′(a)＝1－>0，

∴h(a)在(1，＋∞)上单调递增．

∵h(e²)＝e²－1，

∴只需h(a)≤h(e²)，即1<a≤e².

故a的取值范围是(1，e²]．