Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC
（Ⅱ）若PA=1，AB=2，BC=AC，在线段AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PAC
（Ⅱ）以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，求出平面PBC的法向量，直线BD对应的向量，利用向量的数量积通过直线与平面所成角，求出D不满足题意即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）在线段AC上不存在点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．
由已知可知，BC⊥CA，AB=2，此时BC=AC=

2

．------------（5分）
以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，则

CB

=(0，

2

，0)，

CP

=(

2

，0，1)，
设

n

=(x，y，z)是平面PBC的法向量，则

CB • n =0 CP • n =0

⇒

2 •y=0 2 x+z=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，-

2

)，------------（8分）
设线段AC上的点D的坐标为D（t，0，0），则

BD

=(t，-

2

，0)(0≤t≤

2

)，
∵sin30°=

| n • BD|

| n |•| BD|

=

t

3 • t2+2

，解得t=

6

∉[0，

2

]，------------（11分）
∴在线段AC上不存在点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．------------（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．