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    在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为BC的中点，F在边CD上，
    AB
    •
    AF
    =
    		2
    ，则
    AE
    •
    BF
    =
     
    ．
    分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．
    解答：解：由题意可得，
    AF
    =
    AD
    +
    DF
     
    AE
    ，=
    AB
    +
    BE
    ，
    BF
    =
    BC
    +
    CF
    ，且
    AB
    ⊥
    BC
    ，
    BE
    ⊥
    CF
    ．
    ∵
    AB
    •
    AF
    =
    AB
    •（
    AD
    +
    DF
    ）=0+
    AB
    •
    DF
    =|
    AB
    |•|
    DF
    |=2|
    DF
    |=
    		2
    ，∴|
    DF
    |=
    		2
    2
    ．
    又∵
    AE
    •
    BF
    =（
    AB
    +
    BE
    ）•（
    BC
    +
    CF
    ）=0+
    AB
    •
    CF
    +
    BE
    •
    BC
    +0=-|
    AB
    |•|
    CF
    |+|
    BE
    |•|
    BC
    |
    =-2（2-|
    DF
    |）+
    1
    2
    ×1    =-4+2×
    		2
    2
    +
    1
    2
    =-
    7
    2
    +
    		2
    ，
    故答案为-
    7
    2
    +
    		2
    ．
    点评：本题考查平面向量的数量积的运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，属于中档题目．
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    如图，在矩形ABCD中，AB=3
    		3
    ，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
    （1）求证：BC′⊥面ADC′；
    （2）求二面角A-BC′-D的正弦值．

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    图1-5-5

    求证:AP3=BD·PE·PF.

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    如图所示,已知在矩形ABCD中,||=.设=a, =b, =c,求|a+b+c|.

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