Question

16．已知函数y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，求函数的值域．

Answer 1

分析 原函数可变成$y=1+\frac{4x}{1+{x}^{2}}$，可讨论x=0，x＞0，x＜0三种情况：x=0时可得到y=0，而对于x＞0，和x＜0的情况，可将原函数变成$y=1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，这样根据基本不等式即可得出y的范围，合并三种情况得到的y的范围，从而得出原函数的值域．

解答 解：$y=\frac{1+{x}^{2}+4x}{1+{x}^{2}}=1+\frac{4x}{1+{x}^{2}}$；
①若x=0，则y=1；
②若x＞0，则$y=1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$；
$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1时取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$；
∴1＜y≤3；
③若x＜0，y=$1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$；
$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}＜0$；
∴-1≤y＜1；
∴综上得原函数的值域为：[-1，3]．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法的运用，利用基本不等式求函数值域的方法．