Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，
(1)若F为AA₁的中点，求证：EF∥平面DD₁C₁C；
(2)若F为AA₁的中点，求二面角A-EC-D₁的余弦值；
(3)若F在AA₁上运动(F与A，A₁不重合)，求当半平面D₁EF与半平面ADE成的角时，线段A₁F与FA的比。

Answer 1

解：(1)如图①，连接A1B， 因为E为AB的中点，F为AA1的中点， 所以EF∥A1B， 又A1B∥D1C， 所以EF∥D1C， 因为EF平面DD1C1C，D1C平面DD1C1C， 所以EF∥平面DD1C1C。
(2)设二面角A-EC-D1的大小为θ， 设正方体的棱长为2，由(1)知F，D1，C，E四点共面， 且四边形EFD1C为等腰梯形， 又， 所以， 所以二面角A-EC-D1的余弦值为。
(3)建立如图②所示的坐标系，设正方体的棱长为2，AF=x(0＜x＜2)， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，1，0)，D1(0，0，2)，F(2，0，x)， 因为DD1⊥平面ADE， 所以取为平面ADE的法向量， 设平面D1EF的法向量为n=(x1，y1，z1)， 因为(0，-1，x)， 所以， 取z1=2，则n=(2-x，2x，2)， 因为半平面D1EF与半平面ADE成的角， 所以，， 解得，即， 所以线段A1F与FA的比为。