Question

【题目】定义在R上的函数f（x）= x3+cx+3（c为常数），f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设g（x）=4lnx﹣f′（x），（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），求g（x）的极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= x3+cx+3，f′（x）=x2+c，

因为f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，

所以f′（0）=c=﹣1，

即f（x）= x3﹣x+3

（2）解：由（1），可得g（x）=4lnx﹣x2+1，x∈（0，+∞），

则g′（x）= ﹣2x= =﹣ ，

①当0＜x＜ 时，g′（x）＞0，

可得g（x）在（0， ）上为增函数；

②当x≥ 时，g′（x）≤0，

可得g（x）在（ ，+∞）上为减函数；

所以g（x）在x= 处取得极大值g（ ）=2ln2﹣1

【解析】（1）求出f′（x）=x2+c；然后根据f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，求出f′（0）=c=﹣1，进而求出函数y=f（x）的解析式即可；（2）分别求出g（x）、g′（x），然后分两种情况：①当0＜x＜ 和②当x≥ 时，讨论求出g（x）的极值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．