Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（1）当x∈[-

π

2

，π]时，若函数y=f（sinx）存在零点，求实数a的取值范围并讨论零点个数；
（2）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=sinx∈[-1，1]，要使函数y=f（sinx）存在零点，即使f（t）在[-1，1]上有零点，可得

f(-1)≥0 f(1)≤0

，解不等式组可得实数a的取值范围及零点个数；
（2）将a=0代入，可得f（x）=x²-4x+3，根据对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m的不等式组，解不等式组可得答案．

解答： 解：（1）令t=sinx∈[-1，1]，
∵f（t）=t²-4t+a+3=（t-2）²+a-1，
∴函数f（x）图象的对称轴为直线x=2，要使f（t）在[-1，1]上有零点，
则

f(-1)≥0 f(1)≤0

，即

a+8≥0 a≤0

∴-8≤a≤0．
∴所求实数a的取值范围是[-8，0]．…（3分）
当-3≤a＜0时，2个零点；
当a=0或-8≤a＜-3，1个零点…（7分）
（2）当a=0时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1．
∴当x∈[1，4]时，f（x）∈[-1，3]，记A=[-1，3]．
由题意，知m≠0，当m＞0时，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是增函数，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，记B=[5-m，5+2m]．
由题意，知A⊆B
∴

-1≥5-m 3≤5+2m m＞0

解得m≥6…（9分）
当m＜0时，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是减函数，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，记C=[5+2m，5-m，]．
由题意，知A⊆C
∴

-1≥5+2m 3≤5-m m＜0

解得m≤-3…（11分）
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[6，+∞）．…..（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，其中存在性问题转化为值域的包含关系难度较大．