Question

（2013•临沂三模）n²个正数排成n行n列，如下所示：

其中a_i，j表示第i行第j列的数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，a_1，1=-6，a_2，4=3，a_2，1=-3．
（Ⅰ）求a_2，2，a_3，3；
（Ⅱ）设数列{|a_2，k|}（1≤k≤n）的和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，结合a_1，1=-6，a_2，4=3，a_2，1=-3，可求a_2，2，a_3，3；
（Ⅱ）确定数列{|a_2，k|}（1≤k≤n）的通项，分类讨论，即可求和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由题意知a_2，1，a_2，2，a_2，3，a_2，4成等差数列，
∵a_2，1=-3，a_2，4=3，
∴其公差为

1

3

(a2，4-a2，1)=

1

3

×[3-(-3)]=2，
∴a_2，2=a_2，1+2=-3+2=-1，a_2，3=a_2，1+（3-1）×2=-3+4=1，…（2分）
又∵a_1，1，a_2，1，a_3，1成等比数列，且a_1，1=-6，a_2，1=-3，
∴公比q=

a2，1

a1，1

=

-3

-6

=

1

2

．…（4分）
又∵a_1，3，a_2，3，a_3，3也成等比数列，且公比为q，
∴a_3，3=a_2，3q=1×

1

2

=

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知第{a_2，k}成等差数列，首项a_2，1=-3，公差d=2，
∴a_2，k=a_2，1+（k-1）d=-3+2（k-1）=2k-5．…（7分）
①当1≤n≤2时，|a_2，k|=5-2k，
∴Tn=

n[3+(5-2n)]

2

=4n-n2．…（8分）
②当n≥3时，T_n=|a_2，1|+|a_2，2|+|a_2，3|+…+|a_2，n|=|a_2，1|+|a_2，2|+a_2，3+a_2，4+…+a_2，n=3+1+1+3+…+（2n-5）=4+

(n-2)[1+(2n-5)]

2

=n2-4n+8．…（10分）
综上可知，Tn=

4n-n2，1≤n≤2 n2-4n+8，n≥3.

…（12分）

点评：本题考查数阵知识，考查等差数列与等比数列通项的运用，考查数列的求和，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．