Question

【题目】如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.

（I）求证：；

（Ⅱ）若，四边形为平行四边形，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）过作交于点，连接，先证明平面，再由平面，得出。

（Ⅱ）以，，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量、，再由 得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。

证明：（I）过作交于点，连接，

由平面平面，得平面，∴，

又，，∴，∴.

由直线与平面所成角为，易得，

由，得，又，得.

由，，，平面，得平面，平面，∴.

（Ⅱ）由（I），，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由题意，，∴，

四边形为平行四边形，∴，平面，平面，∴平面，平面平面，∴，.

，，，，，，

，，，，

设平面的法向量为，由，得，取，得，

设平面的法向量为，，，取，，

，∴所求锐二面角的余弦值为.