已知函数f(x)=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin.0＜φ＜$\frac{π}{2}$.且f(x)的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称．的单调递增区间,(2)若对于任意的x∈[0.$\frac{π}{2}$].都有m2-3m+$\frac{1}{2}$≤f(x)≤-m2+3m+$\sqrt{3}$.求实数m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．已知函数f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，且f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-m²+3m+$\sqrt{3}$，求实数m的取值范围．

分析（1）利用诱导公式化简函数的解析式为 f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ），再根据它的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称求得φ的值，可得f（x）的解析式；再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．再根据m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-m²+3m+$\sqrt{3}$，可得 m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，由此求得m的范围．

解答解：（1）∵函数f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ）=$\frac{sin（-\frac{π}{3}）}{-cos\frac{π}{3}}$sin（2x+φ）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ），
它的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即 φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
再结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
再根据m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-m²+3m+$\sqrt{3}$，可得 m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，
求得1≤m≤2．

点评本题主要考查诱导公式、正弦函数的图象的对称性、正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．

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