Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f'（x）+6x的图象的对称轴为y轴
（I）求函数y=f（x）的解析式及它的单调递减区间
（II）若函数y=f（x）的极小值在区间（a-1，a+1）内，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）得图象过（-1，-6）可得m-n=-3，则g（x）=f'（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n为偶函数可求m
由f'（x）＜0可求y=f（x）的单调递减区间
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2，由函数y=f（x）的极小值在区间（a-1，a+1）内可得-6∈（a-1，a+1），从而可求a得范围

解答：解：（1）将点（-1，-6）代入，得m-n=-3…（2分）g（x）=f'（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n，
由题意得：m=0或m=-3…（4分）
所以f（x）=x³-3x²-2，f'（x）=2x（x-2）＜0⇒0＜x＜2，
故y=f（x）的单调递减区间是（0，2）…（8分）
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值-2	减	极小值-6	增

…（10分）
由题意得：

a-1＜-6 a+1＞-6

⇒a∈(-7，-5)…（12分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数的单调区间、极值，属于函数的导数的基本应用．