Question

(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2.

（1）求三棱锥P—ACD的外接球的表面积；

（2）若M为PB的中点，问在AD上是否存在一点E，使AM∥平面PCE？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）5π;（2）在AD上存在点E，使AM∥平面BCE, .

【解析】

试题分析：（1）在△ACD中，AC＝，CD＝，AD＝2，

利用AC2＋CD2＝AD2证得AC⊥CD，根据PA⊥平面ABCD得到PA⊥CD，从而有CD⊥平面PAC， CD⊥PC；

根据△PAD、△PCD均是以PD为斜边的直角三角形，

取PD的中点O，则OA＝OP＝OC＝OD＝，计算即得所求.

（2）根据观察分析，取PC的中点N，连接MN，EN，得到MNBC， 又BC∥AE，得到MN∥AE；

由AM∥平面PCE，得 AM∥EN，四边形AMNE为平行四边形，AE＝MN＝BC＝AD，＝ .

考点：1.球的表面积；2.平行关系、垂直关系.