Question

在三棱锥A-BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2

2

，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A-BCD外接球的表面积．

解答： 解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，
∴三棱锥A-BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，
令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，
∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，
∴DE=

3

，∴PE=

3

3

，DP=

2 3

3

∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2

2

，
∴AP=

2 6

3

，
∵AD²=AP²+DP²（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，
∴三棱锥为正四面体，
构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为

2

，
∴正方体的对角线长为

6

，
∴外接球的半径为

6

2

∴外接球的表面积=4πr²=6π
故答案为：6π．

点评：本题考查直线AE与底面BCD所成角，考查三棱锥A-BCD外接球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．