Question

如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD=6，AD=2，BC=8，∠B=60°，点E在AB上，点F在BC上，
（1）若点G在CD上，△DEF是等边三角形，设BE=x，△GEF的边长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）在第（1）小题中，连结AF，若AF⊥EG，求BE的长．

Answer 1

考点：解三角形,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,解三角形

分析：（1）由已知，三角形EFG是等边三角形，设∠EFB=α，则∠BEF=120°-α；而∠GFC=120°-α，且∠B=∠C=60°，所以∠FGC=α，又EF=FG，由此可知三角形BEF与三角形GF；所以FC=EB=x，则在三角形BEF中，运用余弦定理可得y与x的关系式；当G与D重合时，可知x最小，E与A重合时，x最大，据此得定义域；
（2）由（1）知，BE=x，BF=8-x，结合∠B=60°，在直角三角形BEF中，x可求．

解答： 解：（1）由已知，∠B=∠C，设∠BFE=α，则∠BEF=∠GFC=120°-α，且EF=FG=y，
所以△BEF≌△CFG，所以BE=FC=x，BF=8-x
在三角形BEF中由余弦定理得EF²=BE²+BF²-2BE•BFcosB，
即y²=x²+（8-x）²-2x（8-x）cos60°，化简得：
y=

3x2-24x+64

，x∈[2，6]．
（2）若EG⊥AF，则AF垂直平分EG，连接AG，则AG=AE=6-x，
又由（1）知CG=BF=8-x，所以DG=6-（8-x）=x-2，AD=2，
则在三角形ADG中，∠ADG=120°，
所以由余弦定理得AG²=AD²+DG²-2AD•DGcos120°，即（6-x）²=4+（x-2）²-2×2（x-2）cos120°，
解得x=

16

5

，所以BE的长为

16

5

．

点评：解决此题用到了平几的一些基础知识，注意复习回顾一下；同时解三角形要注意把所给的和所求的条件、结论尽量归到一个三角形中，再利用正余弦定理求解．