Question

6．定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x-1，若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 由f（2-x）=f（x）得出函数的周期，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数y=f（x）和y=log_a（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围．

解答 解：对任意x∈R都有f（2-x）=f（x）
∴f（x）的周期是2，
且当x∈[0，1]时，f（x）=x-1，
∴x∈[-1，0]时，f（x）=-x-1，
若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
即f（x）和y=log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
画出函数图象，如图示：
由图象得：${log}_{a}^{3}$＞-1，解得；0＜a＜$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点应用，利用数形结合，将方程转化为两个函数图象的相交问题是解决此类问题的基本方法．综合性较强．